O  SDCTIE GRACELI O NÃO SE FUNDAMENTA EM ESPAÇO E TEMPO, , ONDE AS DEZ OU MAIS CATEGORIAS DE GRACELI NÃO TEM FUNCIONALIDADE.


E ONDE SE TEM O TEMPO CATEGORIAL [TIPOS NÍVEIS , POTENCIAIS E AÇÃO [OU TEMPO DE AÇÃO], O FERRO DERRETENDO  NÃO TEM A MESMA TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS QUE O OURO, OU OUTROS], E A INTENSIDADE TÉRMICA VARIA CONFORME OS GRAUS DE INICIAR A TERMINAR A TRANSFORMAÇÃO, COM ISTO O TEMPO CATEGORIAL E DECADIMENSIONAL DE GRACELI NÃO É LINEAR [ EM GRAUS E CATEGORIAS [ AQUI NÃO TEM NADA HAVER COM GEOMETR CIDADE QUADRIMENSIONAL], OU VARIÁVEIS EM RELAÇÃO A VELOCIDADE DA LUZ.

E O QUE SE FUNDAMENTA EM CINCO PILARES, CATEGORIAS [TIPOS, NÍVEIS, POTENCIAIS E AÇÃO [TEMPO DE AÇÃO], DIMENSÕES ESTRUTURAIS ENVOLVENDO MATÉRIA, ENERGIAS, FENÔMENOS E CATEGORIAS , E ESTADOS TRANSICIONAIS, TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES..

segunda-feira, 6 de julho de 2020

MECÂNICA DECADIMENSIONAL GRACELI [NO SDCTIE GRACELI]




A MECÂNICA SDCTIE GRACELI É UM SISTEMA FUNDAMENTADO EM CINCO PILARES;

dez ou mais dimensões de graceli  SISTEMA DECADIMENSIONAL GRACELI].

CATEGORIAS DE GRACELI.

ESTADOS TRANSICIONAIS E FENOMÊNICOS DE GRACELI.

TRANSFORMAÇÕES. E INTERAÇÕES.

DENTRO DO SISTEMA DE DIMENSÕES NÃO ENTRA O ESPAÇO E O TEMPO, LOGO NÃO SEGUE VARIAÇÕES CURVAS GEOMÉTRICAS, OU EM RELAÇÃO AO TEMPO, OU LATITUDE, LONGITUDE E ALTURA.


MAS SIM, DIMENSÕES DA MATÉRIA, ENERGIAS, FENÔMENOS E ESTADOS TRANSICIONAIS.


VER PUBLICADO NA INTERNET:

 DIMENSÕES DE GRACELI, E DIMENSÕES DE ESTADOS TRANSICIONAIS.

NÃO SEGUE UMA RELAÇÃO DE ENERGIA E MATÉRIA,

MAS SIM DE CATEGORIAS, UM SISTEMA DECADIMENSIONAL E ESTADOS TRANSICIONAIS.

E NEM VARIAÇÕES DE MOVIMENTOS E MOMENTUM.


MAS SIM, VARIAÇÕES DE ESTRUTURAS, ESTADOS TRANSICIONAIS. CONFORME O SDCITE GRACELI.



PARA ENTENDER O SDCTIE GRACELI.

FÍSICA DIMENSIONAL CATEGORIAL GRACELI - NO SDCTIE GRACELI

Mecânica SDCTIE GRACELI

ELETRO-ENTROPIA QUÂNTICA GRACELI NO SDCTIE GRACELI



CONFORME A INTENSIDADE DE DESCARGAS ELÉTRICAS COMO RAIOS, RELÂMPAGOS, ENCONTROS DE FIOS DE ALTA TENSÃO OCORREM DESORDEM E TRANSFORMAÇÕES DE CARGAS ELÉTRICAS E ALTERAÇÕES MAGNÉTICAS COM VARIAÇÕES EXPONENCIAIS CONFORME A INTENSIDADES DAS DESCARGAS ELÉTRICAS.

E COM ALTERAÇÕES NOS ESTADOS QUÂNTICO DE CADA ÍONS, E VARIAÇÕES ALEATÓRIAS DE FLUXOS NO MEIO EM QUE SE ENCONTRAM [NO ESPAÇO OU DENTRO DOS MATERIAIS.


COM ISTO SE TEM A ELETRO-ENTROPIA  GRACELI..

VEJAMOS:

A LUZ É UMA ENERGIA  ELETROMAGNÉTICA NUM SISTEMA DIMENSIONAL DE ESTADOS QUÂNTICOS.
OU SEJA, NESTE CASO NÃO SE APRESENTA NEM COMO ONDA E NEM COMO PARTÍCULA.

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Em física teórica, um singleto geralmente refere-se a uma representação de uma dimensão. Ele também pode se referir a duas ou mais partículas preparadas em um estado correlacionado, em que o momento angular total do estado é zero.

O estado singleto formado a partir de um par de elétrons tem muitas propriedades peculiares, e executa um papel fundamental no paradoxo EPR e entrelaçamento quântico. Em notação Dirac esse estado EPR é geralmente representado como:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle \right)}$

X

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Em química quântica é chamado tripleto um sistema com três possíveis valores de spin. Pode consistir num bóson W ou Z com spin de valor 1, dois fermiões idênticos com spin 1/2, ou mais de duas partículas num estado com spin total de 1 (tais como electrões numa molécula oxigénio tripleto). Um tripleto de spin é um conjunto de três estados quânticos dum sistema, cada um com um spin total S = 1 (em unidades de ${\displaystyle \hbar }$).

Num sistema com duas partículas de spin-1/2 - por exemplo, o protão e o electrão no estado fundamental do hidrogénio, medido num determinado eixo, cada partícula pode girar para cima ou para baixo, pelo que o sistema possui quatro estados básicos no total:

${\displaystyle \uparrow \uparrow ,\uparrow \downarrow ,\downarrow \uparrow ,\downarrow \downarrow }$

Usamos os spins de cada partícula para rotular os estados básicos, em que a primeira e segunda seta em cada combinação indicam a direcção de rotação da primeira e segunda partículas, respectivamente. Em rigor:

${\displaystyle |s_{1},m_{1}\rangle |s_{2},m_{2}\rangle =|s_{1},m_{1}\rangle \otimes |s_{2},m_{2}\rangle }$

e dado que para partículas de spin 1/2, os estados básicos ${\displaystyle |1/2,m\rangle }$ abrangem um espaço de dimensão 2, os estados básicos ${\displaystyle |1/2,m_{1}\rangle |1/2,m_{2}\rangle }$ abrangem um espaço de dimensão 4. Agora o spin total e a sua projeção sobre o eixo previamente definido pode ser calculado usando as regras para a adição o momento angular na mecânica quântica usando as coeficientes de Clebsch-Gordan. No geral:

${\displaystyle |s,m\rangle =\sum _{m_{1}+m_{2}=m}C_{m_{1}m_{2}m}^{s_{1}s_{2}s}|s_{1}m_{1}\rangle |s_{2}m_{2}\rangle }$

X

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Substituindo os quatro estados básicos:

${\displaystyle |1/2,+1/2\rangle \;|1/2,+1/2\rangle \ (\uparrow \uparrow )}$

${\displaystyle |1/2,+1/2\rangle \;|1/2,-1/2\rangle \ (\uparrow \downarrow )}$

${\displaystyle |1/2,-1/2\rangle \;|1/2,+1/2\rangle \ (\downarrow \uparrow )}$

${\displaystyle |1/2,-1/2\rangle \;|1/2,-1/2\rangle \ (\downarrow \downarrow )}$

Obtém-se os valores possíveis de spin total dados juntamente com a sua representação na base ${\displaystyle |1/2,\ m_{1}\rangle |1/2,\ m_{2}\rangle }$. Existem três estados com spin total do momento angular igual a 1:

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}|1,1\rangle &=\;\uparrow \uparrow \\|1,0\rangle &=\;(\uparrow \downarrow +\downarrow \uparrow )/{\sqrt {2}}\\|1,-1\rangle &=\;\downarrow \downarrow \end{aligned}}\;\right\}\quad s=1\quad \mathrm {(triplete)} }$

X

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e um quarto com o momento angular de spin total de 0.

${\displaystyle \left.|0,0\rangle =(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow )/{\sqrt {2}}\;\right\}\quad s=0\quad \mathrm {(singlete)} }$

X

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Ver também

Harmônicos esféricos

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Representações visuais dos primeiros harmônicos esféricos. Partes em azul e amarelo representam, respectivamente, as regiões nas quais a função é positiva e negativa.

Em matemática e ciência física, harmónicos esféricos são funções harmónicas que representam a variação espacial de um conjunto ortogonal de soluções da equação de Laplace, quando a solução é expressa em coordenadas esféricas.

Os harmónicos esféricos são importantes em muitas aplicações teóricas e práticas, particularmente em física atómica (uma vez que a função de onda do electrão contém harmónicos esféricos) e na teoria do potencial, tanto no campo gravitacional como na eletrostática.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Harmónicos esféricos de variável real Y_lm, para l =0,...,4 (de cima para baixo) e m = 0,...,4 (da esquerda para a direita). Os harmónicos Y_l-m com m negativo são idênticos, mas com uma rotação de 90º/m em torno do eixo z em relação aos harmónicos positivos.

A equação de Laplace em coordenadas esféricas é dada por:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}$

X

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(Ver também Nabla e laplaciano em coordenadas esféricas). Se nesta expressão considera-se soluções específicas da forma ${\displaystyle f(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\varphi )}$, a parte angular Y é chamada harmónico esférico e satisfaz a relação

${\displaystyle {1 \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {dY(\theta ,\varphi ) \over d\theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{d^{2}Y(\theta ,\varphi ) \over d\varphi ^{2}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0}$

X

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Se, por sua vez, utiliza-se o método de separação de variáveis para esta equação, pode-se ver que a equação acima admite soluções periódicas nas duas coordenadas angulares (l é um inteiro). Logo, a solução periódica do sistema anterior depende de dois inteiros (l, m) e é dada em termos de funções trigonométricas e dos polinômios associados de Legendre:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$

X

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Onde: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ é chamada de função harmónica esférica de grau ${\displaystyle \ell }$ e ordem ${\displaystyle m}$; ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ é o polinómio associado de Legendre; ${\displaystyle N}$ é uma constante de normalização; e ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \varphi }$ representam os parâmetros angulares (respectivamente, o ângulo azimutal ou colatitude e o ângulo polar ou longitude).

As coordenadas esféricas utilizadas neste artigo são consistentes com àquelas usadas pelos físicos, mas diferem das utilizadas pelos matemáticos (ver coordenadas esféricas). Em particular, a colatitude ${\displaystyle \theta }$, ou ângulo polar, assume valores de ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ e a longitude ${\displaystyle \varphi }$, ou azimute, está na faixa de ${\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }$. Portanto, ${\displaystyle \theta }$ é nulo no Pólo Norte, ${\displaystyle \pi /2}$ no Equador e ${\displaystyle \pi }$ no Pólo Sul.

Quando a equação de Laplace é resolvida em coordenadas esféricas, as condições de periodicidade na fronteira da coordenada ${\displaystyle \varphi }$ e as condições de regularidades nos "Pólos Norte e sul" da esfera condizem com o que foi dito que os números l e m necessários devem ser inteiros que satisfazem ${\displaystyle \ell \geq 0}$ e ${\displaystyle |m|\leq \ell }$.

Normalização[editar | editar código-fonte]

Há várias normalizações utilizadas para as funções harmónicas esféricas. Em física e sismologia essas funções são geralmente definidas como

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=A_{\ell }^{m}P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

onde

${\displaystyle A_{\ell }^{m}={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}}$

X

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Estas funções são ortonormalizadas,

${\displaystyle \int _{\varphi =0}^{2\pi }d\varphi \int _{-1}^{1}d(cos\theta )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ^{*})\,Y_{\ell '}^{m'*}(\theta ,\varphi )\,=\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}}$,

X

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onde δ_aa = 1, δ_ab = 0 se a ≠ b (ver delta de Kronecker). Nas áreas de geodésia e análise espectral utiliza-se

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

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que possui um termo linear

${\displaystyle {1 \over 4\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }\int _{-1}^{1}d(cos\theta )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ^{*})\,Y_{\ell '}^{m'*}(\theta ,\varphi )\,=\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}}$.

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No magnetismo, no entanto, usa-se os harmónicos de Schmidt semi-normalizados,

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

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que possuem a seguinte normalização:

${\displaystyle \int _{\varphi =0}^{2\pi }\int _{-1}^{1}d(cos\theta )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ^{*})\,Y_{\ell '}^{m'*}(\theta ,\varphi )\,={4\pi \over (2\ell +1)}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}}$.

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Utilizando a identidade (ver funções associadas de Legendre)

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$

X

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pode-se demonstrar que todas as funções harmónicas esféricas normalizadas acima satisfazem

${\displaystyle Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )}$,

X

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onde o símbolo * significa conjugação complexa.

Convenção de fase de Condon-Shortley[editar | editar código-fonte]

Um forte motivo para uma confusão com a definição de harmónicos esféricos é o fator de fase ${\displaystyle (-1)^{m}\,}$, normalmente identificado como a fase de Condon-Shortley na literatura quântica. Na mecânica quântica, é uma prática usual incluir este fator de fase na definição das funções associadas de Legendre, ou anexá-lo à definição de funções harmónicas esféricas. Não há nenhuma exigência da utilização da fase de Condon-Shortley na definição de funções harmónicas esféricas, mas se ela for incluída, então algumas operações no domínio da mecânica quântica serão mais simples. No magnetismo e na geodésia, ao contrário, nunca incluiu-se o fator de fase Condon-Shortley na definição dos harmónicos esféricos.

Expansão em harmónicos esféricos[editar | editar código-fonte]

Os harmónicos esféricos formam um conjunto completo ortonormal de funções e, portanto, formam um espaço vetorial análogo aos vetores unitários da base. Na esfera unitária, todas as funções de quadrado integrável podem, portanto, ser expandidas como uma combinação linear de:

${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$.

X

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Essa expansão é exata sempre que ${\displaystyle \ell }$ estende-se até o infinito. Haverá um erro de truncamento ao limitar a soma sobre ${\displaystyle \ell }$ numa largura de banda finita ${\displaystyle L}$. Os coeficientes da expansão ${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$ podem ser obtidos multiplicando-se a equação pelo conjugado complexo dos harmónicos esféricos, integrando-se sobre um ângulo sólido ${\displaystyle \Omega \!\,}$ e usando-se as relações de ortogonalidade acima. No caso de harmónicos ortonormalizados, obtemos

${\displaystyle f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )}$.

X

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Um conjunto alternativo de harmónicos esféricos para funções reais pode ser obtido a partir do conjunto

${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}Y_{\ell }^{0}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad {\mbox{ si }}m=0\\{1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)={\sqrt {2}}NP_{\ell }^{m}(\theta )\cos m\varphi \qquad \quad \quad {\mbox{si }}m>0\\{1 \over i{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{|m|}-(-1)^{|m|}\,Y_{\ell }^{-|m|}\right)={\sqrt {2}}NP_{\ell }^{|m|}(\theta )\sin |m|\varphi \quad {\mbox{ si }}m<0.\end{cases}}}$

X

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Estas funções têm as mesmas propriedades que as funções de normalização complexas dadas anteriormente. Nesta forma, uma função real integrável pode ser expressa como uma soma infinita de harmónicos esféricos

${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{lm}\,Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$.

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Harmónicos esféricos em física[editar | editar código-fonte]

Seguem-se algumas aplicações dos harmónicos esféricos na física, tanto na eletrostática como na mecânica quântica.

Harmónicos esféricos na eletrostática[editar | editar código-fonte]

O átomo de hidrogênio[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Átomo de Hidrogênio

O modelo quântico moderno do átomo de hidrogênio assume o elétron em um estado constante de energia tem sua posição distribuída ao redor do núcleo atômico como uma distribuição de probabilidades, cuja variação angular é dada por um harmónico esférico.

Análise espectral[editar | editar código-fonte]

A potência total de uma função ${\displaystyle f}$ é definida na linguagem de processamento de sinais eletrônicos como sendo a integral do quadrado da função dividida pela área varrida por ela. Usando as propriedades de ortonormalização de funções harmónicas esféricas de potência real unitária, é fácil verificar que a potência total de uma função definida na esfera unitária está relacionada aos seus coeficientes espectrais através de uma generalização do teorema de Parseval:

${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )^{2}\,d\Omega =\sum _{l=0}^{\infty }S_{f\!f}(l)}$,

X

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onde

${\displaystyle S_{f\!f}(l)=\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}^{2}}$

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é definido como o espectro de potência angular. Da mesma forma, pode-se definir a potência cruzada entre duas funções como

${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g(\Omega )\,d\Omega =\sum _{l=0}^{\infty }S_{fg}(l)}$,

X

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onde

${\displaystyle S_{fg}(l)=\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}g_{lm}}$

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é definido como o espectro cruzado neste caso. Se as funções ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ possuem valor médio igual a zero (ou seja, com coeficientes espectrais ${\displaystyle f_{00}}$ e ${\displaystyle g_{00}}$ nulos), então ${\displaystyle S_{f\!f}(l)}$ e ${\displaystyle S_{fg}(l)}$ representam as contribuições para a variância e covariância da função para ${\displaystyle \ell }$, respectivamente. É comum que o espectro de potência cruzado seja aproximado por uma lei de potências do tipo

${\displaystyle S_{f\!f}(l)=C\,\ell ^{\beta }}$.

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Quando ${\displaystyle \beta =0}$, o espectro é "branco", pois cada nível tem potências iguais. Quando ${\displaystyle \beta <0}$, o espectro é chamado de "vermelho", porque não há mais energia nos níveis mais baixos com comprimentos de onda mais longos do que nos níveis mais elevados. Finalmente, quando ${\displaystyle \beta >0}$, o espectro é chamado de "azul".

Teorema da adição[editar | editar código-fonte]

Um resultado matemático de grande interesse e utilidade é chamado teorema da adição para harmónicos esféricos. Se dois vetores r e r' tem coordenadas esféricas ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ e ${\displaystyle (r',\theta ',\varphi ')}$, respectivamente, o ângulo ${\displaystyle \gamma }$ entre eles é dado pela expressão

${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')}$.

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS 

O teorema da adição expressa um polinômio de Legendre de ordem ${\displaystyle l}$ no ângulo ${\displaystyle \gamma }$ em termos de produtos de dois harmónicos esféricos com coordenadas angulares ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$ e ${\displaystyle (\theta ',\varphi ')}$:

${\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\theta ',\phi ')\,Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$.

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS 

Esta expressão é válida tanto para harmónicos reais como complexos. Entretanto, deve-se ressaltar que a fórmula apresentada anteriormente é válida apenas para harmónicos esféricos ortonormalizados. Harmónicos de potência unitária são necessários para eliminar o fator ${\displaystyle 4\pi }$ da expressão anterior.

Visualizando os harmónicos esféricos[editar | editar código-fonte]

Representação esquemática de Y_lm sobre a esfera unitária. Y_lm é igual a 0 ao longo de m círculos que passam pelos polos e ao longo de l-m círculos de mesma latitude. A função muda de sinal cada vez que cruza uma dessas linhas.

A função harmónica esférica real Y₃₂ mostrada ao longo de quatro cortes.

Os harmónicos esféricos são facilmente visualizados através da contagem do número de cruzamentos que ambos estão na direção das coordenadas ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \varphi }$. Para obter a orientação sobre ${\displaystyle \theta }$, as funções associadas de Legendre possuem ${\displaystyle l-|m|}$ zeros, enquanto que na coordenada ${\displaystyle \varphi }$ as funções trigonométricas seno e cosseno possuem ${\displaystyle 2|m|}$ zeros.

Quando o harmónico esférico de ordem ${\displaystyle m}$ é nulo, as funções harmónicas esféricas não dependem de ${\displaystyle \varphi }$, e diz-se que a função é zonal. Quando ${\displaystyle l=|m|}$, não existem zeros na direção ${\displaystyle \theta }$, e diz-se que a função é setorial. Nos outros casos, as funções formam um padrão em xadrez sobre a esfera.

Expressões analíticas para os primeiros harmónicos esféricos[editar | editar código-fonte]

Eis as expressões analíticas dos primeiros harmónicos esféricos ortonormalizados, com a convenção de fase de Condon-Shortley:

${\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}}$

${\displaystyle Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta }$

${\displaystyle Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)}$

${\displaystyle Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{3}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\,(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )}$

Ver também: [[:[[Tabela de harmónicos esféricos até Y₁₀]]]]

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS 

Teoria matemática geral[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos harmónicos esféricos pode ser visto como uma representação da simetria do grupo das rotações em torno de um ponto SO(3) e das aplicações universais SU(2). Portanto, ele capta a simetria da esfera em duas dimensões. Cada grupo de harmónicos esféricos, com um dado valor do parâmetro l leva a uma representação diferente irredutível do grupo SO(3).

Além disso, a área é equivalente à esfera de Riemann. O conjunto completo das simetrias da esfera de Riemann é descrito pelo grupo das transformações de Möbius PSL(2,C), que é isomorfo ao grupo de Lie real chamado grupo de Lorentz. O análogo dos harmónicos esféricos em relação ao grupo de Lorentz é a série hipergeométrica; na verdade, os harmónicos esféricos podem ser reescritos em termos da série hipergeométrica, já que SO(3) é um subgrupo de PSL(2,C).

Mais especificamente, pode-se generalizar a série hipergeométrica para descrever as simetrias de qualquer espaço de simetria. Em particular, a série hipergeométrica pode ser estendida para todos os grupos de Lie.^[1][2][3][4]

Ver também